此問題中，其實絕對光滑不(bu)太合適，一般可(ke)(ke)以考慮(lv)原子(zi)級(ji)別的光滑就已經可(ke)(ke)以使(shi)用（或可(ke)(ke)以看做沒有接(jie)觸角滯后現象）。為(wei)了讓(rang)解析式(shi)簡便，此題轉化(hua)為(wei)：

如果將體積為V的液體水(shui)滴(di)落到(dao)原子級別光滑的光滑固體表面(mian)上，設固體表面(mian)對水(shui)的接觸角為θ，那么液滴(di)穩定后，液滴(di)與固體之間的接觸面(mian)積S有多大(da)？

下面我(wo)僅僅使用參數V和(he)θ，以及水(shui)的物性常數找(zhao)出S的簡單(dan)解析式。

首(shou)先(xian)，此(ci)題必須分為兩種情形。第一(yi)種，是液體V很小時，此(ci)時表面張力占主(zhu)導地位。此(ci)解(jie)(jie)法(fa)宮非前輩(bei)已經(jing)給出，但是其解(jie)(jie)析式不(bu)夠簡化(hua)。因(yin)此(ci)我進一(yi)步(bu)加以簡化(hua)。當(dang)表面張力占主(zhu)導時，液滴(di)成完(wan)美的球缺狀，如圖1所示。

圖1液體(ti)體(ti)積很(hen)小(xiao)時(shi)，毛(mao)細作用力占主導的情(qing)形，液滴呈球(qiu)形

此時(shi)根(gen)據(ju)球的(de)體積公式，以及簡單的(de)三角函數變換，就可以得(de)出S與V和θ的(de)關(guan)系，具體推導過程(cheng)如(ru)圖2所示。

圖2接(jie)觸面積S的推(tui)導過程

此時(shi)可以看(kan)出(chu)，S與V的2/3次方是正比(bi)例關(guan)(guan)系。對于(yu)自然界任何光滑的表面(mian)，接觸角處于(yu)0到122°的范圍(wei)內，可以繪出(chu)S與θ的關(guan)(guan)系，如圖3所示。

圖(tu)3接(jie)觸面積隨(sui)著接(jie)觸角的變化(hua)關系

上圖是接(jie)(jie)觸角從(cong)5°到120°范圍內(nei)的(de)接(jie)(jie)觸面積的(de)變化關系，基本上涵(han)蓋了自然(ran)界中的(de)大多數物質的(de)光滑固體表(biao)面。

然(ran)后(hou)再是(shi)第二(er)種情形，就(jiu)是(shi)液(ye)體體積很(hen)大，此(ci)時表面張力(li)很(hen)弱(ruo)，重(zhong)力(li)占(zhan)主導地位的場景(jing)。此(ci)時，液(ye)滴在(zai)光滑(hua)固體表面的呈現出扁平(ping)狀。如(ru)圖4所示。

圖4液體體積很大的(de)情形

有意思的(de)是(shi)，已經(jing)有前人對這種情形做過(guo)詳細的(de)受力(li)分(fen)析。得(de)出只要(yao)接(jie)觸角一定(ding)，此(ci)時無論加(jia)多少水，液體的(de)厚(hou)度e都(dou)不會增(zeng)加(jia)，只會增(zeng)加(jia)鋪展的(de)面(mian)積。其厚(hou)度e的(de)表達式(shi)為：

式中，γ為表面張力(li)(li)，p為密度，g為重力(li)(li)加速度。

由于此時，表面(mian)張力(li)影響很小，液膜可以(yi)看成均勻的厚度，所以(yi)滿足(zu)

V=Se

從而可以推出：

圖(tu)5液體(ti)接觸面積的推導公式。

至于具體(ti)的(de)推導e的(de)過程，可(ke)以見如下分析：

參考文獻：Capillarity and Wetting Phenomena書(shu)籍(ji)。