前(qian)面有(you)一篇(pian)短文中介(jie)紹了水中的(de)(de)自由氣泡(pao)的(de)(de)演變(bian)過(guo)程。然而，在實際生活中，我們見(jian)到和經(jing)常使(shi)用的(de)(de)卻是(shi)大量氣泡(pao)組成的(de)(de)泡(pao)沫(mo)。本文介(jie)紹一下泡(pao)沫(mo)的(de)(de)微(wei)觀結(jie)構靜力學(xue)及其演變(bian)過(guo)程分(fen)析(xi)。

泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)一般結構如(ru)圖1所(suo)示，由于浮力作用，大(da)量(liang)的(de)(de)(de)氣(qi)泡(pao)(pao)(pao)漂浮在液體(ti)(ti)的(de)(de)(de)表層，從(cong)上往(wang)下含有的(de)(de)(de)氣(qi)泡(pao)(pao)(pao)的(de)(de)(de)體(ti)(ti)積分數依次(ci)減小。在泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)的(de)(de)(de)研究(jiu)中，把(ba)液體(ti)(ti)體(ti)(ti)積含量(liang)極少（通常(chang)少于1%）的(de)(de)(de)泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)成為干泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)，把(ba)含量(liang)介于1%到約30%左右的(de)(de)(de)泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)成為濕泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)。對于氣(qi)泡(pao)(pao)(pao)液體(ti)(ti)，幾乎所(suo)有的(de)(de)(de)氣(qi)泡(pao)(pao)(pao)可以(yi)保持為球(qiu)形(xing)，不(bu)用考慮氣(qi)泡(pao)(pao)(pao)之間直接接觸的(de)(de)(de)氣(qi)泡(pao)(pao)(pao)膜(mo)問題，這(zhe)不(bu)屬(shu)于泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)物理學研究(jiu)的(de)(de)(de)范(fan)疇。如(ru)圖1所(suo)示，泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)的(de)(de)(de)結構尺度跨(kua)越(yue)10個數量(liang)級(ji)，從(cong)宏觀(guan)泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)的(de)(de)(de)演變規律，到微觀(guan)泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)界(jie)面的(de)(de)(de)穩定機(ji)制，對于泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)(mo)的(de)(de)(de)研究(jiu)橫跨(kua)了(le)物理，材(cai)料(liao)，界(jie)面化(hua)學等多個學科。

圖1.不同尺度(du)(du)下的(de)泡(pao)沫(mo)結構及穩定(ding)機制(Ref 1)（a）整個泡(pao)沫(mo)結構，尺度(du)(du)為(wei)0.01 m至(zhi)1 m。（b）干泡(pao)沫(mo)的(de)放大部分(fen)，尺度(du)(du)為(wei)0.1 mm至(zhi)1 cm。（c）液體(ti)通道，也(ye)叫Plateau邊界(jie)，尺度(du)(du)為(wei)1 um至(zhi)0.1 mm以及肥皂泡(pao)膜(mo)，尺度(du)(du)為(wei)10 nm到1 um。（d）氣(qi)液界(jie)面(mian)的(de)分(fen)子層(ceng)結構，尺度(du)(du)為(wei)0.1 nm到10 nm。e-f）氣(qi)泡(pao)膜(mo)在界(jie)面(mian)靜電力(li)排斥(chi)作用即楔裂壓（disjoining pressure）的(de)作用下而穩定(ding)存在。

（1）泡(pao)沫的(de)結構規律

圖2 Plateau及其(qi)干泡沫靜態(tai)結構(gou)力學三定律(Ref 1)

泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)物(wu)理學(xue)集中于研究(jiu)泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)的(de)(de)(de)(de)結構、靜力(li)學(xue)、動態(tai)演變及(ji)排液等內容。它(ta)是一個十(shi)分古老的(de)(de)(de)(de)學(xue)科，由比利時物(wu)理學(xue)家Plateau在(zai)(zai)(zai)19世紀中葉開創(chuang)（圖2a）。Plateau在(zai)(zai)(zai)數(shu)十(shi)年(nian)的(de)(de)(de)(de)失明的(de)(de)(de)(de)時光(guang)里(li)，依舊通過指(zhi)導他(ta)侄(zhi)子(zi)做試驗，堅持研究(jiu)肥皂泡(pao)(pao)(pao)薄膜的(de)(de)(de)(de)幾何形態(tai)及(ji)其背(bei)后隱藏的(de)(de)(de)(de)力(li)學(xue)規律(lv)。1873年(nian)，他(ta)和侄(zhi)子(zi)把自(zi)己的(de)(de)(de)(de)實驗現象(xiang)和分析(xi)結果(guo)做了(le)(le)系統整(zheng)理，以(yi)法(fa)文發表，從此(ci)把對泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)結構的(de)(de)(de)(de)研究(jiu)由定性印象(xiang)推到(dao)了(le)(le)量化階段，開創(chuang)了(le)(le)泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)物(wu)理學(xue)(Ref 2)。在(zai)(zai)(zai)泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)靜力(li)學(xue)方面(mian)，Plateau的(de)(de)(de)(de)主(zhu)要貢獻在(zai)(zai)(zai)于其提出了(le)(le)干泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)的(de)(de)(de)(de)靜態(tai)結構力(li)學(xue)的(de)(de)(de)(de)三定律(lv),它(ta)是后續泡(pao)(pao)(pao)沫(mo)研究(jiu)的(de)(de)(de)(de)基石：

1）膜(mo)力學(xue)平衡：肥皂膜(mo)是(shi)光(guang)滑的(de)，它的(de)曲(qu)率半徑是(shi)處(chu)處(chu)相等的(de)，其大小可以用Laplace方程去計算。對于2維泡沫(mo)，每條氣泡邊界都是(shi)圓弧的(de)一部分(圖2b)；

2）邊(bian)(bian)力(li)學平衡(heng)：三個肥(fei)皂膜相互接(jie)觸(chu)總是形成三條邊(bian)(bian)，且任意三條邊(bian)(bian)的(de)夾角必須為120°(圖2b)，此時(shi)力(li)平衡(heng)并且體系(xi)能量最低。

3）頂點(dian)力(li)學平(ping)衡(heng)：當四(si)條(tiao)邊(bian)(bian)在(zai)空間形成(cheng)一個頂點(dian)時，此頂點(dian)處的四(si)條(tiao)邊(bian)(bian)任(ren)意兩條(tiao)的夾(jia)角(jiao)都為109.5°，只有這(zhe)個角(jiao)度才能使膜以(yi)120°角(jiao)互相連接達到力(li)平(ping)衡(heng)(圖2c)。

（2）泡沫的演變

Plateau的(de)泡沫(mo)結構(gou)力學三定律對于后續泡沫(mo)的(de)研究具(ju)有重要(yao)的(de)意義。它直(zhi)接引出了一系(xi)列有關氣泡的(de)推論(lun)。

比如，依據Plateau第(di)一(yi)定律，可(ke)以推出(chu)，相(xiang)鄰(lin)三(san)個相(xiang)互(hu)接觸的(de)(de)氣泡的(de)(de)三(san)條邊界上的(de)(de)曲率之和為零(ling)（Curvature sum rule）。其中最重要地(di)是1952年von Neumann利(li)用它推導(dao)出(chu)了二維(wei)泡沫的(de)(de)演變方程(cheng)(Ref 3)。

 推(tui)導二維泡沫的演(yan)變方程需要(yao)用到(dao)幾何(he)荷(he)數（Geometry charge）的概(gai)念。下面(mian)我們首(shou)先介(jie)紹一下幾何(he)荷(he)數的定義。

假設二維干泡沫(mo)中的(de)任一(yi)氣泡如(ru)圖3b所(suo)(suo)示，氣泡的(de)邊(bian)(bian)數為(wei)n，從a點開始，再回到(dao)(dao)(dao)a的(de)邊(bian)(bian)長分別標記為(wei)l1到(dao)(dao)(dao)ln，每邊(bian)(bian)所(suo)(suo)對(dui)應(ying)的(de)曲率(lv)為(wei)k1到(dao)(dao)(dao)kn（Plateau第(di)一(yi)定律(lv)）。現在假設有一(yi)點從a點沿著邊(bian)(bian)向(xiang)b運(yun)動(dong)，到(dao)(dao)(dao)b點時(shi)，所(suo)(suo)走的(de)路徑(jing)為(wei)l1，轉(zhuan)(zhuan)(zhuan)動(dong)的(de)角(jiao)度為(wei)這條邊(bian)(bian)所(suo)(suo)對(dui)應(ying)的(de)圓心角(jiao)（向(xiang)外為(wei)正，向(xiang)內為(wei)負值），為(wei)k1*l1。此(ci)時(shi)要(yao)想繼(ji)續沿著邊(bian)(bian)運(yun)動(dong)，需要(yao)向(xiang)內轉(zhuan)(zhuan)(zhuan)動(dong)π/3角(jiao)度（根(gen)據Plateau第(di)二定律(lv)），如(ru)圖3b所(suo)(suo)示。轉(zhuan)(zhuan)(zhuan)動(dong)后(hou)繼(ji)續運(yun)動(dong)，直(zhi)到(dao)(dao)(dao)到(dao)(dao)(dao)達原(yuan)來的(de)點a。此(ci)過程，n條邊(bian)(bian)總(zong)共在頂(ding)點處轉(zhuan)(zhuan)(zhuan)動(dong)的(de)角(jiao)度為(wei)nπ/3，在邊(bian)(bian)上轉(zhuan)(zhuan)(zhuan)動(dong)的(de)角(jiao)度為(wei)

此(ci)點的運(yun)動方向變化(hua)總共為2π，可(ke)建立(li)關系：

則幾何荷數q的定義為：

圖3 Von Neumann及二維干泡沫演化規律(Ref 1)

幾何(he)荷數的(de)含(han)義即(ji)是每邊(bian)所(suo)對(dui)應的(de)圓(yuan)(yuan)心角之和，其中對(dui)于(yu)氣泡(pao)而言(yan)往(wang)外凸起的(de)邊(bian)為正值(zhi)，往(wang)里凹下的(de)邊(bian)其圓(yuan)(yuan)心角為負值(zhi)。幾何(he)荷數能夠反應出氣泡(pao)的(de)平(ping)均凹凸程(cheng)度(du)，是對(dui)氣泡(pao)平(ping)均形貌的(de)一個表征。通過公式可以(yi)看出，邊(bian)長大(da)于(yu)6的(de)氣泡(pao)平(ping)均是凹下的(de)，邊(bian)長等于(yu)6的(de)氣泡(pao)平(ping)均是平(ping)的(de)，而變長小于(yu)6的(de)氣泡(pao)，平(ping)均起來是凸起的(de)，如圖(tu)3c所(suo)示。

下面(mian)我們推導二維泡(pao)(pao)沫的(de)演變方程，由于任一氣(qi)泡(pao)(pao)跟(gen)(gen)周圍(wei)氣(qi)泡(pao)(pao)的(de)氣(qi)體(ti)交換都是通過氣(qi)泡(pao)(pao)邊界(jie)進行(xing)的(de)，則氣(qi)泡(pao)(pao)體(ti)積（二維氣(qi)泡(pao)(pao)用面(mian)積表示）隨時間的(de)變化率跟(gen)(gen)邊界(jie)長度和邊界(jie)上(shang)的(de)壓強差都有關(guan)系，可以表示為

式中λ為(wei)氣體傳(chuan)輸系數(shu)，根據(ju)Laplace方程可得

結合(he)上(shang)式(shi)及(ji)上(shang)面(mian)q的推導過程公式(shi)，可得

二維(wei)泡沫的(de)(de)演變方程(cheng)表明，氣(qi)泡的(de)(de)變化只和其邊的(de)(de)個數有關，對于邊長(chang)(chang)大(da)于6的(de)(de)氣(qi)泡，隨著演化體(ti)(ti)積(ji)(ji)會增(zeng)大(da)，邊長(chang)(chang)等于6的(de)(de)氣(qi)泡，其體(ti)(ti)積(ji)(ji)保持(chi)不(bu)(bu)變。而對于邊長(chang)(chang)小于6的(de)(de)氣(qi)泡，其體(ti)(ti)積(ji)(ji)會逐(zhu)漸變小。注意，這兒體(ti)(ti)積(ji)(ji)保持(chi)不(bu)(bu)變，不(bu)(bu)代(dai)表氣(qi)泡不(bu)(bu)與外(wai)界(jie)發生氣(qi)體(ti)(ti)傳(chuan)輸，只是表示(shi)進入氣(qi)泡和出去氣(qi)泡的(de)(de)體(ti)(ti)積(ji)(ji)是相等的(de)(de)，總體(ti)(ti)顯示(shi)體(ti)(ti)積(ji)(ji)顯示(shi)不(bu)(bu)變，也不(bu)(bu)代(dai)表氣(qi)泡的(de)(de)邊界(jie)不(bu)(bu)發生移動。

Von Neumann的(de)二(er)維演(yan)變方程的(de)著名及其(qi)重要性是它不(bu)單單適用于二(er)維泡沫，凡是具有網格(ge)結構的(de)二(er)維體(ti)系(xi)，界面移動受界面張力調(diao)控，其(qi)速(su)率受界面曲率調(diao)控的(de)情形都可以(yi)用這(zhe)個方程去表達。這(zhe)種情形在自然(ran)界中是十(shi)分普遍(bian)的(de)，比(bi)如(ru)如(ru)水上面油脂分子層的(de)演(yan)化(hua)(hua)、熔化(hua)(hua)時晶界的(de)變化(hua)(hua)、冰晶的(de)生長等(Ref 5,Ref 6)。

自從(cong)Von Neumann推(tui)出(chu)了二(er)維(wei)(wei)(wei)泡(pao)沫的(de)(de)演(yan)變(bian)方程(cheng)以來，人們一直希望(wang)能推(tui)導(dao)出(chu)三(san)維(wei)(wei)(wei)泡(pao)沫的(de)(de)演(yan)變(bian)方程(cheng)，直到(dao)50多年(nian)后的(de)(de)2007年(nian)，美國葉史瓦大學(xue)MacPherson等(deng)(deng)在Nature上(shang)發表了一篇題為“把(ba)von Neumann方程(cheng)拓展到(dao)三(san)維(wei)(wei)(wei)微結(jie)(jie)構(gou)粗(cu)化(hua)的(de)(de)研究”（The von Neumann relation generalized to coarsening of three-dimensional microstructures）的(de)(de)論文，完成了對(dui)三(san)維(wei)(wei)(wei)泡(pao)沫體系(xi)演(yan)變(bian)方程(cheng)的(de)(de)推(tui)導(dao)(Ref 7)。之后，加利福尼(ni)亞大學(xue)的(de)(de)Saye等(deng)(deng)于2013年(nian)在Science上(shang)發表論文，從(cong)模擬上(shang)實現了三(san)維(wei)(wei)(wei)泡(pao)沫的(de)(de)結(jie)(jie)構(gou)重排、排液、破(po)裂等(deng)(deng)一系(xi)列過程(cheng)（圖4），在泡(pao)沫演(yan)變(bian)歷史上(shang)具有劃時代的(de)(de)意義(Ref 4)。至此，人們對(dui)泡(pao)沫演(yan)變(bian)的(de)(de)規律得(de)到(dao)了充(chong)分的(de)(de)認識。

圖4目前對三維干泡(pao)沫演(yan)變(bian)的模擬(ni)研究(jiu)65

Ref 1:I.Cantat,S.et al.Foams:Structure and Dynamics.Oxford University Press,Oxford,(20

Ref 1:I.Cantat,S.et al.Foams:Structure and Dynamics.Oxford University Press,Oxford,(2013).

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注：本文節選自(zi)本人博士畢業論文前言(yan)部分。