氣泡(pao)液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)是(shi)大小(xiao)不(bu)同的(de)(de)(de)(de)球狀氣泡(pao)分散(san)(san)到液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)中的(de)(de)(de)(de)液(ye)氣體(ti)(ti)(ti)(ti)系。在氣泡(pao)液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)中，大小(xiao)不(bu)同氣泡(pao)是(shi)一個(ge)(ge)(ge)不(bu)穩定的(de)(de)(de)(de)體(ti)(ti)(ti)(ti)系，其(qi)內(nei)部不(bu)等(deng)的(de)(de)(de)(de)壓強會使(shi)整個(ge)(ge)(ge)體(ti)(ti)(ti)(ti)系變化(hua)，總體(ti)(ti)(ti)(ti)趨(qu)勢(shi)是(shi)氣泡(pao)半(ban)徑出現粗化(hua)現象，這(zhe)種(zhong)粗化(hua)跟晶體(ti)(ti)(ti)(ti)生長(chang)中的(de)(de)(de)(de)Ostwald熟化(hua)的(de)(de)(de)(de)現象是(shi)一致的(de)(de)(de)(de)（Ref 1）。根據附加(jia)壓力公式(shi)，可知較(jiao)小(xiao)的(de)(de)(de)(de)氣泡(pao)其(qi)內(nei)部具有較(jiao)大的(de)(de)(de)(de)壓強，因(yin)此與旁邊較(jiao)大的(de)(de)(de)(de)氣泡(pao)間(jian)就(jiu)(jiu)會存在壓強差（圖1a），氣泡(pao)間(jian)液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)兩(liang)側的(de)(de)(de)(de)壓強差會使(shi)氣體(ti)(ti)(ti)(ti)從(cong)壓強較(jiao)大的(de)(de)(de)(de)地方向較(jiao)小(xiao)的(de)(de)(de)(de)地方擴散(san)(san)，從(cong)而出現大的(de)(de)(de)(de)氣泡(pao)增大，小(xiao)的(de)(de)(de)(de)氣泡(pao)減小(xiao)直(zhi)至消失的(de)(de)(de)(de)情形，這(zhe)就(jiu)(jiu)是(shi)氣泡(pao)Ostwald熟化(hua)的(de)(de)(de)(de)機理（Ref 2）。從(cong)能(neng)量的(de)(de)(de)(de)觀點來(lai)說，Ostwald熟化(hua)的(de)(de)(de)(de)結果降低了體(ti)(ti)(ti)(ti)系的(de)(de)(de)(de)表面能(neng)，從(cong)而使(shi)整個(ge)(ge)(ge)體(ti)(ti)(ti)(ti)系更(geng)加(jia)穩定。

圖1（a）氣泡演變Ostwald熟化原理(li)(li)（b）Lemlich理(li)(li)論中半徑為ρ的假想氣泡模型(xing)

從(cong)定性的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)角(jiao)度(du)來(lai)看，氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)Ostwald熟化(hua)(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)過程是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)大氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)吸收(shou)小氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)過程。但從(cong)定量(liang)(liang)上的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)角(jiao)度(du)來(lai)說，在(zai)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)演(yan)(yan)變(bian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)任一(yi)時刻(ke)，到(dao)底尺寸為(wei)多少的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)傾向為(wei)長大，而(er)尺寸為(wei)多少的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)減小而(er)傾向于(yu)消失(shi)呢(ni)？1978年，美(mei)國辛那提大學的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)Robert Lemlich建(jian)立模(mo)型解決了(le)(le)這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)問題（Ref 3）。Lemlich的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)論核(he)心和依(yi)據(ju)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)：1）假(jia)設所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)內(nei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)相(xiang)互(hu)擴散(san)(san)時，都是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)先(xian)把氣(qi)(qi)體(ti)(ti)(ti)(ti)擴散(san)(san)到(dao)液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)中(zhong)(zhong)(zhong)，再通(tong)過液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)擴散(san)(san)到(dao)其他氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)中(zhong)(zhong)(zhong)實現Ostwald熟化(hua)(hua)過程（圖1a），這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)假(jia)設在(zai)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)含量(liang)(liang)不(bu)高(gao)，不(bu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)相(xiang)互(hu)接觸的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情形下是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)合理(li)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。2）在(zai)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)演(yan)(yan)化(hua)(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)任何一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)時刻(ke)，液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)中(zhong)(zhong)(zhong)氣(qi)(qi)體(ti)(ti)(ti)(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)濃度(du)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)均勻(yun)一(yi)致(zhi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)假(jia)設在(zai)研究所(suo)(suo)有(you)(you)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)演(yan)(yan)化(hua)(hua)整體(ti)(ti)(ti)(ti)行為(wei)上是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)可行的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。3）依(yi)據(ju)亨利定律，這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)中(zhong)(zhong)(zhong)氣(qi)(qi)體(ti)(ti)(ti)(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)濃度(du)可以(yi)等(deng)價為(wei)液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)內(nei)部有(you)(you)一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)氣(qi)(qi)體(ti)(ti)(ti)(ti)壓強(qiang)(qiang)，而(er)這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)壓強(qiang)(qiang)可以(yi)看成(cheng)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)假(jia)想的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)內(nei)部的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)壓強(qiang)(qiang)（圖1b），其半徑ρ可以(yi)依(yi)據(ju)Laplace方程計算出來(lai)。所(suo)(suo)以(yi)，所(suo)(suo)謂氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)演(yan)(yan)化(hua)(hua)就是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)所(suo)(suo)有(you)(you)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)跟這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)假(jia)想的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)進行氣(qi)(qi)體(ti)(ti)(ti)(ti)交流(liu)。這(zhe)(zhe)樣就把體(ti)(ti)(ti)(ti)系中(zhong)(zhong)(zhong)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)演(yan)(yan)變(bian)多對多擴散(san)(san)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)復雜情形簡化(hua)(hua)為(wei)了(le)(le)多對一(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)演(yan)(yan)變(bian)過程。由此，體(ti)(ti)(ti)(ti)系中(zhong)(zhong)(zhong)任意一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)半徑為(wei)r氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)與這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)液(ye)體(ti)(ti)(ti)(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)中(zhong)(zhong)(zhong)假(jia)想的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)氣(qi)(qi)泡(pao)(pao)(pao)(pao)(pao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)壓強(qiang)(qiang)差△P為(wei)

公式1

此氣泡與(yu)液體（假(jia)想氣泡）之間的氣體的以摩爾為(wei)單位的傳輸速率Qm為(wei)

公式2

公式中J為氣(qi)(qi)體(ti)的(de)有效滲(shen)透系數，As為氣(qi)(qi)泡(pao)氣(qi)(qi)體(ti)傳(chuan)輸發生(sheng)的(de)表面積，dn/dt是單位時(shi)間傳(chuan)輸的(de)摩爾數。對于球形氣(qi)(qi)泡(pao)As=4πr^2，在(zai)任一時(shi)刻，通過所有氣(qi)(qi)泡(pao)界面的(de)氣(qi)(qi)體(ti)量是守(shou)恒的(de)，即

公式3

假設氣(qi)體(ti)符合氣(qi)體(ti)理想氣(qi)體(ti)方程，即PV=nRT，對于球形氣(qi)泡(pao)(pao)，體(ti)積V=4πr^3/3,從而可把(ba)摩爾(er)速率轉化(hua)為氣(qi)泡(pao)(pao)半徑變化(hua)的速率。通(tong)過以上各(ge)式，可得

公式4

公式5

這(zhe)就給出(chu)了氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)Ostwald的(de)(de)動力學方(fang)程(cheng)。對于(yu)任意(yi)氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)體(ti)系(xi)，知道某時刻(ke)的(de)(de)氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)體(ti)積(ji)或者半徑(jing)(jing)分布(bu)，就可以利(li)用(yong)(yong)公(gong)(gong)式(shi)4算出(chu)ρ判定體(ti)系(xi)中的(de)(de)氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)是增大(da)還是減小(xiao)，氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)半徑(jing)(jing)大(da)于(yu)ρ的(de)(de)在(zai)(zai)這(zhe)一(yi)時刻(ke)又增大(da)的(de)(de)趨勢，小(xiao)于(yu)的(de)(de)會在(zai)(zai)下一(yi)時刻(ke)減小(xiao)，根據ρ的(de)(de)公(gong)(gong)式(shi)，其(qi)含義是所有氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)的(de)(de)瞬時平均(jun)半徑(jing)(jing)。而(er)且(qie)，利(li)用(yong)(yong)公(gong)(gong)式(shi)5就可以預測氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)在(zai)(zai)后面任意(yi)時刻(ke)的(de)(de)氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)分布(bu)，以及氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)的(de)(de)演化(hua)的(de)(de)最終(zhong)狀(zhuang)態及所需要的(de)(de)時間。

Lemlich的理論在(zai)預測(ce)低(di)含量的氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)時的演(yan)化(hua)規律(lv)無疑是(shi)合理而準(zhun)確的。而且(qie)氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)含量越低(di)，其準(zhun)確性越高。最(zui)重要(yao)的原因他的理論建立在(zai)氣(qi)(qi)(qi)體(ti)(ti)傳輸發生在(zai)氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)與(yu)液體(ti)(ti)而不是(shi)氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)與(yu)氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)之(zhi)間。對于高濃度(du)的氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)液體(ti)(ti)，氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)之(zhi)間相(xiang)互(hu)擠壓，氣(qi)(qi)(qi)體(ti)(ti)傳輸可以直接(jie)通(tong)過氣(qi)(qi)(qi)泡(pao)(pao)接(jie)觸(chu)的邊(bian)界進行。而且(qie)在(zai)演(yan)化(hua)中，液體(ti)(ti)的局域氣(qi)(qi)(qi)體(ti)(ti)濃度(du)也不全相(xiang)同，在(zai)預測(ce)這(zhe)類演(yan)化(hua)時，會(hui)出現較大(da)的誤差(cha)，需要(yao)用到(dao)泡(pao)(pao)沫的結構與(yu)演(yan)化(hua)規律(lv)去解釋。

筆者(zhe)借用這種理論，討論了在微結(jie)構下(xia)氣(qi)泡(pao)的(de)演(yan)變行為(wei)。并(bing)去控(kong)制(zhi)氣(qi)泡(pao)的(de)演(yan)變過(guo)程(cheng)(cheng)和(he)演(yan)變方向，其相應結(jie)果(guo)發表(biao)在Ref4中(zhong)。控(kong)制(zhi)演(yan)變過(guo)程(cheng)(cheng)的(de)動畫如下(xia)所示：

微(wei)結構下(xia)氣泡演變的集聚(ju)效應

即(ji)剛(gang)開始無(wu)序的(de)氣泡，在生長和(he)微(wei)結構的(de)調控下，最終全部演變為正十二邊形的(de)規則氣泡陣列。

Ref 1：Lifshitz,I.M.&Slyozov,V.V.The Kinetics Of Precipitation From Supersaturated Solid Solutions.J.Phys.Chem.Solids 19,35-50(1961).

Ref 2：Stevenson,P.Inter-bubble gas diffusion in liquid foam.Curr.Opin.Colloid Interface Sci.15,374-381(2010).

Ref 3：Lemlich,R.Prediction of Changes in Bubble Size Distribution Due to Interbubble Gas Diffusion in Foam.Ind.Eng.Chem.Fundam.17,89-93(1978).

Ref 4：Zhandong Huang,Meng Su,Qiang Yang,Zheng Li,Shuoran Chen,Yifan Li,Xue Zhou,Fengyu Li,Yanlin Song*.A general patterning approach by manipulating the evolution of two-dimensional liquid foams.Nat.Commun.2017,8,14110.

注：此(ci)文(wen)摘選自(zi)本人博士(shi)畢業(ye)論文(wen)。